¿Cuál es la diferencia entre 'por qué', 'porqué', 'porque' y 'por que'?

Por qué. Forma compuesta de la preposición por y el interrogativo o exclamativo tónico qué (con tilde para distinguirlo del relativo y de la conjunción que). La utilizamos para introducir oraciones interrogativas y exclamativas, tanto directas como indirectas:
¿Por qué te fuiste tan pronto?
¡Por qué barrizal nos has metido!
No nos quiso decir por qué se había enfadado.
En el caso de las interrogativas, reconoceremos esta forma porque permite que añadamos detrás de ella los sustantivos causa, razón o motivo:
¿Por qué (razón, causa o motivo) te fuiste tan pronto?
No nos quiso decir por qué (razón, causa o motivo) se había enfadado.

Porqué. Es un sustantivo masculino que equivale a causa, motivo, razón. La tilde no es diacrítica en este caso, pues es una palabra aguda terminada en vocal. Se reconoce porque aparece casi siempre precedido por un artículo u otro determinante, puede ser sustituido por uno de sus sinónimos (razón, causa o motivo) y puede ponerse en plural:
Intentaba ocultar el porqué de su comportamiento.
Intentaba ocultar la razón, la causa o el motivo de su comportamiento.
Intentaba ocultar los porqués de su comportamiento.

Porque. Es una conjunción causal siempre átona, que se emplea para encabezar las respuestas a las preguntas introducidas por la secuencia por qué. Para reconocer esta forma, podemos sustituirla en el enunciado por otras conjunciones causales de valor semejante: ya que, pues,puesto que.
Le pusieron una multa porque aparcó en zona prohibida
Le pusieron una multa puesto que/pues/ya que aparcó en zona prohibida.

Por que. Tiene dos valores:
La preposición por más el pronombre relativo que. Esta forma se identifica porque podemos anteponer un artículo al relativo, que es la construcción más frecuente (el que, los que).
Ignoro el motivo por que le despidieron.
Ignoro el motivo por (el) que le despidieron.
No te imaginas los problemas por que estoy pasando.
No te imaginas los problemas por (los) que estoy pasando.
La preposición por más la conjunción subordinante que. Esta secuencia aparece con verbos, sustantivos o adjetivos que rigen un complemento introducido por la preposición por y llevan además una oración subordinada introducida por la conjunción que. Para identificarla podemos sustituir la secuencia que sigue a la preposición por con el pronombre eso.
Me inclino por que pidamos ayuda externa. Me inclino por eso.
Está muy preocupado por que la lluvia no estropee la fiesta. Está muy preocupado por eso.
Esa actriz tiene obsesión por que todo el mundo la reconozca. Esa actriz tiene obsesión por eso.
La forma porque también puede usarse con valor final en lugar de para que.
Se esforzó mucho porque (para que) todo saliera bien.
En estos casos la RAE prefiere la escritura en una sola palabra, pero también admite la escritura separada.

Se esforzó mucho porque/por que (para que) todo saliera bien.

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