¿Es «No doy más de sí» o «No doy más de mí»?

Es «No doy más de mí». En esa construcción el pronombre debe concordar con el sujeto.

Dar(se) de sí, locución tiene dos significados:

a) ‘Ensancharse o perder tensión’. Con este sentido se aplica a cosas materiales, preferentemente a tejidos y prendas de vestir, y solo se usa en tercera persona, también en forma pronominal: Este traje (se) ha dado mucho de sí. En España se usa también como transitivo, con el sentido de ‘hacer más ancho’: Como hagas eso, vas a dar de sí el traje.

b) ‘Rendir o producir’. Con este sentido, puede aplicarse tanto a cosas (La reunión no ha dado más de sí) como a personas (Si se esfuerzan, aún pueden dar más de sí). Por lo general, se emplea únicamente en tercera persona, tanto del singular como del plural. Si el sujeto es una primera o una segunda persona, deben usarse las formas correspondientes del pronombre reflexivo: Estoy agotada y no doy más de mí; Si no puedes dar más de ti, abandona.